Methodên sivik ên ji bo çareserkirina lênêrîna linear (SLAE)

Methodê hêsankirina hêsan, herweha rêbazek nêzîkî nêzîkbûnê ye, wekî algorithmek matografîk e ku ji bo dîtina nirxa nenasî ya bi veguhastina demkî ve ye. Ya bingeha vê rêbazê ye ku, wekî navê tê de, hêdî hêdî ji nêzîkbûna nêzîkî destpêkirina pêvajoya destpêkê ve pêşve dibe ku encama bêtir encamên bêtir û encamên nû çêbibin. Ev rêbaz tê bikaranîn ku ji bo fonksiyonek pîvanek, û herweha ji bo çareserkirina sîstemên wekheviyê, herdu jî rêzar û nelinear bikar anîn.

Bila bisekinin ka ev rêbaz çawa di çareserkirina SLAE de pêk tê. Pergala dravê ya hêsan e algorithm jêrîn e:

1. Verification ya temamî ya rewşa matverê ya di çarçoveyek zûtirîn de. Convergence theorem: eger matrixeya destpêkê pergala destpêkek pirrjimar e (ango, di her tiştî de elementên sereke yên diagonal de bêtir modulus mezin ji hêla hêla modulo diagonal ve mezintir e), hingê ew rêbazek dagirkirina hêsan e.

2. Metrix ya pergala bingehîn her tim hema hewayek dravikî ne. Di van rewşan de, pergalê tê guhertin. Wekheviyên ku bicihkirina mercê nerazîbûnê nebin hiştin, û bi tevlihevkirina rahengên neheqî, i.e. Multiply, veguhestin, dabeşkirina hevpeymanan ji bo ku heta encama daxwazê xweste nayê kirin.

Heke di pergala encamê de encamên hûrgelan li ser bingeha dagonî ye, hingê herdu parçeyên herhevî wekheviya hûrgelên ku bi _i * x _{i re dibêjim,} nîşanên ku divê bi hêmanên diagonal re peyda bikin.

3. Guhertina pergala wergirtina bi forma normal:

X ^- = β ^- + α * x ^-

Ev dikare di çend awayan de bêne çêkirin, ji bo nimûne: ji yekhevkirina yekem, x x bi nenasên din, ji x xuyemîn x ₂ , ji xeletiya sêyem, xuya bike. Em bi formulên jêr bikar bînin:

Α _ij = - (a _ij / a _ii)

_I = b _i / a _ii
Pêdivî ye ku dîsa pêdivî ye ku pergala encamkirina encamên nermal bi şerta nermaletê re girêdayî ye:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, bi i = 1,2, ... n

4. Em dest pê bikin, rastiyê, rêbazê ya nêzîkbûna nêzîkbûnê.

X ^{( 0)} nêzîkbûna nêzîk e, em ji x x ^{( 1)} ve xuya dike, paşê em x x ^{( 2)} bi x ^{( t )} . Formula giştî ya di forma matrixê de wiha ye:

X ^(N) = β-+ α * x ^(n-1)

Em nirxandin ku em gihîştina rastiya pêwîst:

Max | x _i (k) -x _i (k + 1) ≤ ε

Ji ber vê yekê, bihêle analîzkirina rêbazê rêbazên hêsan ên hêsan. Mînak:
Daxuyaniya SLAU:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5 x2 + 4.7x3 = 4 bi rastiya ε = ^10-3

Bila bibînin ka elementên dîagonal di modulus de zêde dibe.

Em dibînin ku tenê wekheviya sêyemîn sêwirandina rewşê ye. Ya yekemîn û duyemîn em dihejînin, ji bo yekem yekem we veguherînin:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Ji sêyemîn em pêşî veşartin:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Me pergala bingehîn di nav yekhev yek de guhertin:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Niha em sîstema xwe bi forma normal be.

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
X2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Em pêvajoyek pêvajoyên îdeolojî kontrol bikin:

0.0789 + 0.3158 = 0.3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383 + 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, i.e. Rewşa dilxweş e.

0.3957
Nêzîkî nêzîkî x ^{( 0)} = 0.4762
0,8511

Em van nirxên wekhevkirina nirxên normal, em nirxên jêrîn bigirin:

0.08835
X ⁽¹⁾ = 0.486793
0,446639

Nirxên nû yên veguherandin, em dikarin:

0.215243
X ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Heta ku gava em nêzîkî nirxên ku ji bo mercê dayîn hebe, hejmarek berdewam berdewam bikin.

0,18813

X ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0,188002

X ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Bila rastiya encamên kontrol bikin:

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

Di encamên yekem de tevahî nirxên nirxên veguhastinê têne destnîşankirin bi temamî mercên wekheviyê bicih bikin.

Wekî ku em dibînin, rêbazek hêsan a hêsan encam rast e, lê ji bo çareserkirina vê yekê ye ku me pir dem dirêj kir û gelek hesabên cinsî hene.