Polyhedra Regular: hêman û bêîfade ne û li herêma

Geometry xweşik e ji ber ku, berevajiya cebîrê tê, ew e ku her tim ne zelal çima û ka tu çi difikirî, dide object dîtbarî. Ev dinya ecêb sazîyên cuda nexshîn bike polyhedra bi rêkûpêk.

Agahiyên giştî li ser polyhedra rêk

Li gorî gelek, polyhedrons bi rêkûpêk, an jî wek ku ew bi elementa Platonic navê, xwediyê taybetiyên bêhempa ye. Bi van tiştên girêdayî çend senaryo zanistî. Gava ku tu dest bi xebata daneyên geometrîk ên ji bedenê, ji we bizane ku hema hema tu tiştî li ser konsepteke weha wek polyhedra bi rêkûpêk nizanin. Di danasîna van tiştên ku li dibistanê ye, ne her tim balkêş, da ku ez heta bi bîr bînin ku ew dibêjin bûn. Di bîra wî ya piraniya xelkê ew ne tenê cube e. Tune ji geometrî bedena nade van tekûziyê wek polyhedrons nîzamî ne, dibîne. Hemû navên van sazîyan geometrîk ji Yewnana Kevnar rojevê. Ew temsîl hejmara rûyên: ji tetrahedron - çar-cûr'e, hexahedron - Allen, octahedron - octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedrons. Hemû ji van bedena geometrîk xwe datîne ser cihekî girîng di têgihaştina Plato ya gerdûnê. - bi êgir, bi icosahedron - cube av - erd, octahedron - hewayî tetrahedron: Çar ji wan bi hêmanên an sazîyan de temsîl. Dodecahedron hemû tiştan de temsîl. Ew sereke dihat qebûl kirin, weke sembola gerdûnê.

The prosesa têgeha a polyhedron

Polyhedron berhevoka û aqilê yên polygons ewqas e ku:

• her yek ji van aliyan yek ji polygons e di heman demê de bi tenê yek alî yên polygon din jî li aliyê heman;
• ji her yek ji polygons tu ji yê din re derbas parvekiriye şikênandine polygons de rêve herin.

Polygons rê ya polyhedron temsîl rûyê xwe û aliyê xwe de - şikadin. vertices polyhedra li vertices ji polygons in. Ger term polygon li fêm polylines girtî dûz, paşê jî bi yek pênase of a polyhedron were. Di doza ku ji aliyê ev gotin wateya beşekî ji balafira ku ji aliyê xeta şikandin, gotibû ku ew dê bêne fêmkirin surface ku ji pariyên avasaziyê. polyhedron Convex e li bedena derewan li aliyekî ji balafirê, li rex û rûyên wê navê.

pênase din ji polyhedron û hêmanên wê

Polyhedron navê surface ku pêkhatibûn ji polygons, ku di bedenê geometrîk digre. Ew jî ev in:

• non-convex;
• convex (rast û çewt e).

polyhedron Regular - a polyhedron convex bi Maximal bêîfade e. Hêmanên polyhedra rêk:

• Tetrahedron: 6 şikadin 4 rûyên 5 vertices;
• hexahedron (cube) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

pęça Euler e

Ev diyar dike ku têkiliya di navbera hejmara keviyan, vertices û rûyên topologically qasî a cîhana. Zêdekirin hejmara vertices û rûyên (B + D) heye polyhedra cuda bi rêkûpêk û bi hev re ji wan bi hejmara şikadin, mimkun e ji bo danîna yek desthilata: yekûna hejmara rûyên ji bo hejmara vertices û keviyan (P) ji aliyê 2. zêde wekhev Ev gengaz e ku jêderk a formula danê:

• B + D = P + 2.

Ev formula ji bo hemû polyhedra convex derbasdar e.

salixdanên bingehîn

Têgeha a polyhedron nîzamî ne mimkun e ji bo danasîna di yek hevokê. Ev e, zêdetir bi nirx û volume. A bedenê ji bo vî şiklî bê naskirin, pêwîst e ku ew pêşwazî li hejmarek ji salixdanên. Bi vî awayî, bedena geometrîk dê bibe polyhedron rêk û dema ku van şert û mercan bi hevdîtin kir:

• ew convex e;
• Di heman hejmara şikadin converges li her yek ji vertices xwe;
• opsîyonên xwe - polygons bi rêkûpêk, ji hev û din wekhev;
• Hemû angles dihedral wekhev in.

Properties ji polyhedra rêk

in, 5 cureyên cuda yên polyhedra rêk hene:

1. Cube (hexahedron) - ev hêla apex dûz 90 ° e. Ev heye hêla 3-nameşe. Şêwaz rûyê lîstên li apex of 270 °.
2. Tetrahedron - kûrayî apex dûz ji - 60 °. Ev heye hêla 3-nameşe. Şêwaz rûyê lîstên li apex - 180 °.
3. Octahedron - kûrayî apex dûz ji - 60 °. Ev heye hêla çar-nameşe. Şêwaz rûyê lîstên li apex - 240 °.
4. Dodecahedron - hêla apex dûz ji 108 °. Ev heye hêla 3-nameşe. Şêwaz rûyê lîstên li apex - 324 °.
5. Icosahedron - ev hêla apex dûz ji - 60 °. Ev heye hêla pênc-nameşe. Şêwaz rûyê lîstên li apex of 300 °.

Li herêma polyhedra rêk

Di herêmê de ji surface of termê geometrical (S) ye ku li herêma polygon rêk û zêde ji aliyê hejmarek ji lingê (G) tê hejmartin:

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Hecma a polyhedron rêk

Ev nirx bi zêdekirina volume of a texê bi rêkûpêk ku baregeha Archîmedes bi rêkûpêk, hejmara rûyên e tê hesabkirin, û bilindahiya wê ji radius nexşandin ji qada (r) e:

• V = 1: 3RS.

Volumes ji polyhedra rêk

Like tu solid, polyhedra rêk û geometrîk din jî, hêmanên cuda. Li jêr da formûlên by ku ew nikarim hejmêrim in:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (cube): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Hêmanên polyhedra rêk

Hexahedron û octahedron bedenên geometrîk cot in. Bi gotineke din, ew dikarin ji hev û din di bûyerê de get ku centroid ji yek wekî jor li ser yê din, û tênegihiştina girtin. Jî icosahedron dual û dodecahedron in. Bi xwe, bi tenê tetrahedron dual e. Li gorî rêbaza Euclid dikare ji hexahedron dodecahedron bi avakirina "serbanî," li ser rûyên wan cube bidestxistin. The vertices ji tetrahedron ti 4 vertices ji cube, bi cotên de parvekiriye li ser qiraxa in. Ji hexahedron (cube) bête xistin, û yên din polyhedra bi rêkûpêk. Bi tevî, ku polygons bi rêkûpêk in, bêhejmar, polyhedra bi rêkûpêk heye, ne bi tenê 5 hebû.

The Radii ji polygons rêk

Bi her yek ji van sazîyan geometrîk waran de fencekuva girêdayî ne: 3

• şirove derbas bi rêya vertices;
• nexşandin di derbarê her yek ji rûyên xwe di nîvê de jî;
• medyan li ser hemû keviya di navîn.

Li dorûbera ji qada şirove ji aliyê formula jêr tê hejmartin:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Li dorûbera ji qada nivîsandin wiha tê hejmartin:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

ku θ - kûrayî dihedral e ku di navbera parçeyekî de parvekiriye.

Li dorûbera medyan ya di qada dikare bi bikaranîna formula jêr hejmartin:

• ρ = a cos π / p: 2 guneh π / h,

ku h = mezintîya 4.6, 6,10, an 10. Rêjeya yên Radii ji şirove nivîsandin û symmetrically bi rêzgirtina ji bo p û q. Ev wiha tê hejmartin:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Bêîfade ne û polyhedra

Bêîfade yên polyhedra bi rêkûpêk e ji faîza sereke bi van sazîyan geometrîk. Ev jî weke tevgera ji bedenê di qada, ku dihêle heman hejmara vertices, rûyên û keviyan fêmkirin. Bi gotineke din, di bin bandora bêîfade ne û Veguherînên qiraxa, Vertex, an rûyê hiltîne helwesta wê ya orjînal, an pêngavên ji bo helwesta mala rib din, li vertices an rûyên din.

Hêmanên bêîfade yên polyhedra asayî bo hemû cureyên elementa geometrîk hevbeş in. Here ku li ser veguherîna nasnameyî, ku dihêle tu li ser xalên li ser wargehê eslî kirin. Bi vî awayî, çaxê ku hûn berê xwe di prism avasaziyê dikarî çend sîmetrêyan bistînin. Bęjeyek ji wan dikare wekî berhema neynika temsîlkirin. Symmetry, e yên ku berhemên wan de, hejmara ramanên, bi navê direct. Eger ev berhema an zede ji ramanên e, ew jî ew e ku bi navê Deng. Bi vî awayî, hemû da dixne dor, ji xeta temsîl bêîfade ne û sererast bikin. Bęjeyek ji neynika polyhedron - bêîfade bervajiya e.

To baştir fêm hêmanên bêîfade yên polyhedra bi rêkûpêk, tu mînaka ji tetrahedron bigirin. Bęjeyek ji xeta ku dê di yek ji vertices û navenda derbas şiklê geometrîk, wê cihê xwe bi riya navenda pêşberî qiraxa bo ku wan hilde, û. Her yek ji yê ku dora 120 û 240 ° li dora xeta ye ji bêîfade tetrahedral plural. Ji ber ku ev 4 vertices û rûyên, em dest bi giştî heşt sîmetrêyan direct. Bęjeyek ji xeta derbas bi rêya navîn ên li keviya û li navenda bedenê de, ew bi riya navîn ji ber devê pêşberî derbas dibe. Bęjeyek ji rotation of 180 °, ku navê wê nîv-dorê li dora bêîfade ne û sererast bikin. Ji ber ku tetrahedron heye sê cotên yên parsûyê, hûn sê xetên ji bêîfade bistînin. Li ser bingeha li jor, em dikarin ku hejmara giştî ya bêîfade direct, û di nav de veguherîna nasnameyî encamê, wê ji bo her diwanzdeh be. Din û bêîfade direct tetrahedron tune ne, lê ev 12 bêîfade ne û bervajiya. Di dawîyê de, bi tenê 24 ji sîmetrêyan tetrahedron bilêv. Ji bo neşefafiya, em nikarin modeleke a tetrahedron rêk û pêk ji cardboard ava û bicîh bikim ku ev e ku bedena geometrîk bi rastî bi tenê 24 bêîfade ne.

Dodecahedron û icosahedron - herî nêzîk ji herêma bedena. Icosahedron heye û hejmara herî mezin yên rûyên, bi kûrayî dihedral û ji hemûyan bi herdu dikarin ji bo di qada xêzkirin ve zeliqî. Dodecahedron heye avêtim angular acizîya mezin kûrayî solid li Vertex. Ev bikanibin ji bo tije di qada circumscribed.

polyhedra sęyemîn

lêgerîneke polyhedra Regular, ku em hemû bi hev re di temenê zaroktiyê de xençerek, xwedî gelek têgehên. Eger set of polygons li wir, her aliyekî ji ya ku bi tenê yek aliyê polyhedron naskirin, nasandina Divê partî bi du mercên bilêvkirine:

• ji hev polygon, tu ji bo Archîmedes ku li nasnameya xwe ji aliyê herin;
• aliyê nas dikin, divê bi heman length hene.

Ev a set of polygons ku pêşiya van şert e û lêgerîneke polyhedron kir. Her yek ji van cenazeyan jî çend ji wan. Ji bo nimûne, cube yên ku 11 parçe parçe hene.